Debuteerde op zeventienjarige leeftijd in het eerste van PEC Zwolle. Hier zou hij vervolgens zestien seizoenen lang in spelen, met het kampioenschap van 1978 in de Eerste divisie als hoogtepunt. 

Daarnaast komt Drost voort uit een echte PEC-familie. Zo was de grootvader van Klaas Drost enige tijd voorzitter van de club en was zijn vader een gewaardeerde eerste elftalspeler.

In het huidige stadion is de zuid-tribune vernoemd naar Klaas Drost.